主题：数学分析

复旦的课本应该可以从 六十年代上海科技出的算起 (指正式出版),那本书在香港 等地翻印后反应据说非常好, 似乎丘成桐先生做学生的时候 也曾收益与此. 到90年代市面上还能看到的课本 里面,有一套陈传璋先生等编的, 可能就是上面的书的新版,交大的 试点班有几年就拿该书做教材. 另外有上海科技版的欧阳光中(谷先生 的连襟),秦曾复,朱学炎三位编的 课本,好象后来数学系不用了, 计算机系倒还在用.那本书里面 据说积分的第二中值定理的陈述 有点小错. 总的说来,这些书里面都可以看到 一本书的影子,就是 菲赫今哥尔茨的"数学分析原理", 其原因,按照秦老师的说法,是最初 在搞教材建设的时候,北大选的"模本" 是辛钦的"数学分析简明教程", 而复旦则选了"数学分析原理". 后来自然有欧阳先生和姚允龙老师的 那本数学分析.我不否认那是一种尝试, 但是感觉上总有点别扭.以比较新的观点 来看数学分析这样经典的内容在国际上 的确是一种潮流,但是从这个意义上说 该书做得并不是非常好.而且从整体的 课程体系上说,在后面有实变函数这样 一门课的情况下是否有必要引入Lebesgue 积分值得商榷.

下面开始讲一些课本,或者说参考书: 1.菲赫今哥尔茨 "微积分学教程","数学分析原理". 前一本书,俄文版共三卷,中译本共8本; 后一本书,俄文版共二卷,中译本共4本. 此书堪称经典. "微积分学教程"其实连作者(莫斯科或者 列宁格勒大学的教授,门下弟子无数,包括 后来得诺贝尔经济学奖的著名数学家Kantorovitch) 都承认不太合适作为教材,为此他才给出了 能够做教材的后一套书,可以说是一个 精简的版本(有所补充的是在最后给出了 一个后续课程的简介). 相信直到今天,很多老师在开课的时候 还是会去找"微积分学教程",因为里面 的各种各样的例题实在太多了.如果想 比较扎实的打基础的话,可以考虑把里面的 例题当做有答案的习题来做,当然不是每道 题都可以这么办的.如果你全部做完了 那里的题目然后考试的时候碰到你做过的 可别怪我. 毫无疑问,这套书代表了以古典的方式 处理数学分析内容(指不引入实变,泛函的观念) 的最高水平,考虑到在中国的印数就以十万 计,可能在世界范围内也只有Goursat的书可以与之相比了. 2.Apostol "Mathematical Analysis" 在西方(西欧和美国),这应该算得上是 一本相当完整的课本了,在总书库里面 有. 3.W.Rudin "Principles of Mathematical Analysis" (有中译本:卢丁"数学分析原理",理图里有) 这也是一本相当不错的书,后面我们可以看到, 这位先生写了一个系列的教材.该书的讲法, (指一些符号,术语的运用)也是很好的. 这里附带说一句,因为在理基里面当年念的是 后来复旦出版社出的秦老师和余跃年编的"高等数学", 虽然我一向认为该书编的很是不好,但是在这里 想引秦老师的一句话,希望能对非数学专业的 ddmm有所帮助:就是学完"高等数学"以后,可以 找一本西方advanced calculus水平的书来看, 基本上就能够达到一般数学系的要求了.当时秦老师 曾特别指出Rudin的书. 说到Advaced Calculus,在这个标题下面有一本书也是 可以一看的,就是 L.Loomis和S.Sternberg的Advanced Calculus, 这本书的观点还是很高的,毕竟是人家Harvard的 课本.

4."数学分析"(北大版)方企勤,沈燮昌等 "数学分析习题集'北大的这套课本写得还是可以的,不过最好的东西 还是两本关于习题的东西.大家知道,吉米多维奇 并不是很适合数学系的学生的,毕竟大多是计算题 (一个比较有意思的地方是那套被广大教师痛骂的 习题解答其实有一个题的第二小题是没答案的, 原因好象是编书的人也没做出来,好象是关于级数 收敛的一个题目).相比之下北大的这本习题集就 要好许多,的的确确值得一做.那本习题课教材也 是很有意思的书,包括一些相当困难的习题的解答, 5.克莱鲍尔"数学分析" 记得那是一本以习题的形式讲分析的书,题目也很不错. 理图里有. 6.张筑生"数学分析新讲"(共三册) 我个人认为这是中国人写的观点最新的数学分析课本, 张老师写这书也实在是呕心沥血,手稿前后写了差不多 五遍.象他这样身有残疾的人做这样一件事情所付出的 是比常人要多得多的.以致他自己在后记中也引了"都 云作者痴,谁解其中味".在这套书里,对于许多材料的 处理都和传统的方法不太一样.非常值得一读.唯一的 遗憾是,按照张老师本人的说法,北大出版社找了家根 本不懂怎么印数学书的印刷厂,所以版面不是很好看. 理图里有.

下面的一些书可能是比较"新颖"的. 7a.尼柯尔斯基"数学分析(教程?)" 理图里有,是清华的人翻译的,好象没翻全.那属于 80年代以后苏联的新潮流的代表,不管怎么说, 人家是苏联科学院院士. 7b."数学分析" 忘了是谁写的了, 也是苏联的,莫斯科大学的教材. 理图里面有第一卷的中译本,分两册.那里面从极限 的讲法(对于拓扑基的)开始就能够明显得让人感觉 到观点非常的"高". 8.狄多涅"现代分析基础(第一卷)" 那是一套二十世纪的大家写的一整套教材的第一卷, 用的术语相当"高深",可能等以后学了实变,泛函再 回过头来看感觉会更好一些. 9.说两句关于非数学专业的高等数学. 这里强烈推荐理图里面几本法国人写的数学书. 因为在法国高等教育系统里面,对于最好的学生, 中学毕业以后念的是两年大学预科,这样就是不 分系的,所以他们的高等数学(比如理图里面有 J.Dixmier院士的"高等数学"第一卷)或者叫 "普通数学"(理图里面有一套书就是这个标题), 其水平基本上介于国内数学系和物理系的数学课 之间.

10.再补充一个技术性的小问题.对于函数项级数收敛, 一致收敛是充分而非必要的,有一个充要条件叫 "亚一致收敛性",在"微积分学教程"里面提了一句, 其详细讨论,似乎仅见于 鲁金(Lusin)的"实变函数论" 11.华罗庚先生的"高等数学引论"第一卷 这套书(其实没有完成最初的计划)是六十年代初 华先生在王元先生的辅助下对科大学生开课时 的讲义.那时候他们做过一个实验,就是一个教授 负责一届学生的教学,所以华先生这书里面其实 是涉及很多方面的(附带提一句,另外两位负责过一 届学生的是关肇直先生和吴文俊先生).也是出于 一种尝试吧,华先生这书里面有一些不属于传统 教学内容的东西,还包括一些应用.可以一读. 理图里有. 12.何琛,史济怀,徐森林 "数学分析" 这应该是科大的教材,虽然好象影响不是很大, 我本人还是很喜欢的,第一次学数分 就是用的这套书,感觉是条理清晰,配的习题也很好. 印刷质量也相当不错.可惜的是学校里面没有,所以 放在最后.