主题：借《拓扑学基本教程》一书谈拓扑学之贰（zz)（转载）

偶看见关于James R.Munkres的《拓扑学基本教程》的评论，转载与此，共赏。 下面就《拓扑学基本教程》一书，做个简单的介绍，也当是随便聊聊拓扑学的基本内容。 当然是基于我自己的理解。 这本书基本分成两部分，第一部分是比较基本的概念，第二部分是高级的部分，甚至涉及 一些代数拓扑的内容。 第一部分 这一部分主要涉及了一般拓扑学的基本内容，而且做到了自容。按照章节主要讲述了集合 论和逻辑、拓扑空间与连续函数、连通性和紧性以及可数性和分离性公理。我逐一讲来。 1、如果谁想在集合论上有“半懂”的了解，我推荐这本书的第一章。这里作者详尽地讲 述 关于集合的理论，甚至包括很近代的内容。我不想一一道来，记得印象深的是关于序的介 绍，包括实数和整数理论、数学归纳法的原理和超限归纳法、良序的概念及Zemelo的良序 定理、选择公理及其几种等价形式。择其主要以及适当的习题，读者可以对于集合论有个 大概的了解。这一点对我以后的学习帮助很大。比如为了叙述序拓扑的概念，书中用较大 篇幅介绍了偏序、全序、良序的概念，给出了实数公理。在后面章节可以看出，许多实数 的问题，是由其序结构决定的。当然如果不关心这些，可以暂时跳过去。 2、接下来很自然的是引入拓扑的概念。几乎所有现代的书籍在介绍拓扑都是采纳定义开 集 的公理化办法，但大家也很清楚，这种定义一般来讲在实际问题中好象没什么用处，因此 还需要其它的办法，从别的角度来刻划拓扑的概念。我们知道有很多定义开集（闭集）的 办法，比如拓扑基、拓扑子基、邻域基，也涉及了很多其它的概念比如内点、闭包、极限 点以及聚点等概念。从分析学的角度来看，引入拓扑的目的就是为了刻划极限，不同的拓 扑决定了不同的收敛性。这一点在泛函分析中大家会有很深的体会。为此，作者把T2分离 公理（Hausdorff公理）放到了前面，因为这一公理正是保证极限唯一性质的本质。作者 还 详尽地介绍了如何由原空间的拓扑定义子空间的拓扑以及序拓扑的概念。 定义了拓扑之后，当然是考虑拓扑空间之间的映射。于是引入了建立两个拓扑空间的拓扑 之间联系的映射的概念，即连续映射。对于连续性的不同的刻划办法（整体和局部的）， 实际反映了这一概念引入的不同动机。局部的连续性来源于分析而整体的则与几何有更密 切的联系。而一个双射保持了双向的连续性称之为一同胚。两个拓扑空间可以建立一个同 胚意味着双方的拓扑实际上是一回事，或者说从拓扑学考虑，这两个空间是一样的。能够 被同胚保持的性质称作拓扑性质。我们因此给拓扑学下定义，所谓拓扑学就是研究拓扑空 间的拓扑性质的学科。后面我们会谈到很多拓扑性质。除此之外，借助于代数的方法，我 们可以找到更多的有用的拓扑性质，这是代数拓扑的范畴。我们可以从曲面的粘合等问题 来理解这一连续的变换，就是说一张曲面不破裂、不粘合的“连续”形变一定是同胚，破 裂意味着不是单射（如果逆映射可定义，逆映射可以是连续的），粘合意味着逆映射不是 单射（映射可以是连续的）。关于粘合问题就是引入一个商映射。 下面将谈到的是乘积拓扑和商拓扑，前者在分析中非常重要，而后者更多地运用于几何中 。乘积拓扑的引入实际上可以从分析学中找到动机，一族连续映射的笛卡儿积如何保证其 连续性。这一动机也可以使得乘积拓扑和箱拓扑容易地被区别。这一动机在比如归纳（投 影）极限的定义和Cech上同调等定义中也可以体现出来。在后面谈到Stone－Cech紧化问 题 时还会碰到。商拓扑是刻划如何使得到商空间的映射连续性被保持的。所谓商空间是指一 个空间模掉某一等价关系得到的等价类的空间，意味着空间的粘合。商拓扑的性质似乎比 乘积拓扑要古怪一些。 这里，作者还花了一定的篇幅讨论了最常见的拓扑空间——度量空间，从度量（开球）诱 导的拓扑到度量拓扑的一些必要条件。这些将在Nataga-Smirnov-(Bing)度量化定理的章 节 详细讨论。

3、接下来的几个章节主要是讨论一些重要的拓扑性质，以及这些性质在连续的（开、闭 ） 映射下是否被保持，在乘积空间、商空间以及子空间中是否被保持。 首先考虑拓扑空间的连通性和紧性。作者从微积分中三个例子（介值定理、闭区间上连续 函数可以取最大最小值、闭区间上连续函数一致连续）出发，介绍了这些拓扑性质的来源 。 连通性是反映空间是否分裂，即是否可以表示成两个非平凡的不相交开集（闭集）的并， 这是一种整体的连通性。更直观的一个概念是所谓道路连通性，即空间中任意两点是否可 以被一根连续曲线连接。总体来说后者的条件要强一些。很有趣的所谓“拓扑学家的正弦 曲线”给出了连通但不道路连通的一个例子。我们可以将拓扑空间按照（道路）连通性分 成一些（道路）连通分支。进而，我们在很多场合（比如流形上）将会遇到局部的（道路 ）连通性，也就是每一点存在一（道路）连通的邻域。连通性可以被连续映射保持，从而 很容易证明介值定理。 紧性是个非常重要的概念，在很多领域都可以见到它的身影。比如闭区间内的序列存在收 敛子列，或是某一无穷集合一定存在极限点或聚点等特性。这些先被发现的事实促使人们 找到今天公认的最好的表述方式：拓扑空间的任一开覆盖存在有限的子覆盖。粗略地说， 紧性反映了拓扑空间的一种有限性。比如Euclid空间的紧集等价于有界闭集，紧度量空间 的Lebesgue数的存在性。紧性也可以被连续映射保持，可以由此证明前面提到的闭区间上 连续函数存在最大最小值以及闭区间上的连续函数一致连续。需要指出，据说拓扑学家定 义了类似的紧性好几十种，但真正常用的就是紧性，以及关于序列存在收敛子列的序列紧 性等。另外需要指出还有一种仿紧性（paracompact）是很重要的，关于它，我们后面还 会 提到。紧性在局部的体现就是所谓局部紧性，就是说任一点存在一紧邻域。虽然说紧（H a usdorff）空间是非常好的拓扑空间，但即便欧氏空间也不是紧的（但是局部紧的），但 对 于分析学来说，局部紧（Hausdorff）空间就非常好用。另外在引入网（滤子）收敛的概 念 之后，我们知道紧性相当于关于网（滤子）任一序列存在收敛子列。至于一族紧拓扑空间 的乘积是否为紧空间的Tychonoff定理，我们放到稍后。 4、如果说连通性和紧性可以从分析中找到动机，下面将要谈到的的可数性公理和分离性 更 多地来源于拓扑学自身的研究。比如如何将一拓扑空间嵌到度量空间或紧Hausdorff空间 之 类的问题。 先来说可数性公理，第一、第二可数性公理是最常用的。第一可数性公理是说每一点存在 可数的邻域基；第二可数性公理是说空间具有可数的拓扑基。前者比后者要弱。在第一可 数性公理下，一些拓扑问题可以借助于点列收敛来描述，这是因为此时的网收敛即通常的 点列收敛。比如，对于闭集的刻划可以写成其中任一点均存在收敛的点列收敛于该点；从 第一可数空间到拓扑空间的映射在某一点连续，对任一收敛于该点的序列其像也收敛于该 点的像。对于分析中考虑的绝大多数空间，这一点均是成立的。但第一可数性公理是给出 空间的局部信息，而第二可数性公理给出了整体的信息。在第二可数性公理下，我们可以 得到一些基本紧性的等价性（紧、序列紧、可数紧及极限点紧等），这对于分析学是非常 重要的。除此之外，还有一些“准”可数性性质，比如可分性（存在可数稠密子集）和L i ndelof性（任一开覆盖存在可数子覆盖）等。 分离公理有时会让人厌烦，因为他们被区分得太细了。所谓分离性，是指拓扑空间的点或 子集如何被分离，我见到过从T0直到T6的分离公理（还有一个T3又1/2）,但真正有用的是 分离点和点的T2公理（即Hausdorff公理）、分离点和闭集的T3公理（正则性）、分离闭 集 与闭集的T4公理（正规性）以及T3又1/2公理（完全正则性）。鄙人认为Hausdorff性是最 有用的。在单点集为闭集的条件下，这些条件是按下标增强的。这里值得多想一想的是完 全正则性公理，它说可以用连续函数将点和闭集分离开来，因此自然的问题是如何在正规 空间里将两个不相交的闭集用连续函数分离开来，这就是著名的Urysohn引理。Urysohn引 理的证明可能是到此为止第一个有挑战性的证明，书中做了详尽的介绍。其主要思想是利 用正规的分离性，引入一种序填满整个可能的分离区域，从而构造出一个满足条件的连续 函数。类似的结果在局部紧Hausdorff空间中也可以得到。Urysohn引理的一个直接的推论 是很重要的Tietze扩张定理，它说：对于正规空间中的闭子集到闭区间的连续映射总可以 扩张成该空间上的连续映射，从而该闭子集到实数集上的任一连续映射均可扩张到该空间 上去。有趣的是Tietze的定理和Urysohn引理实际上是等价的。Urysohn引理另一重要应用 是所谓的正规空间的单位分解定理，其在分析、几何和拓扑中都非常重要，需要注意的是 我们更多用到的单位分解定理是加上了仿紧性的，因为需要用到覆盖的局部有限性。最后 是Urysohn的度量化定理，即具有可数基的正则空间是可度量化的。Urysohn是个俄国的杰 出数学家，可惜英年早逝（好象20多岁死的）。他的度量化定理的价值是给出了度量化的 必要条件，这对于最终解决这一问题是很有启发的，只是这中间花了四五十年时间。

第二部分 这一部分讲述的内容相对比较高级，主要包括关于紧性被乘积保持的Tychonoff定理、紧 化 问题、仿紧性与度量化定理、函数空间以及其上的典型的拓扑以及一些杂项。最后的内容 已经可以纳入代数拓扑的范畴，主要是基本群和覆盖空间，对于这一部分，Massey的《A l gebraic topology: A first course》是不错的教材（不涉及同调论）。 5、所谓的Tychonoff定理是说，紧空间的任意笛卡儿积在积拓扑下仍为紧空间。这个定理 的证明是十分困难的。首先它采用了紧集的闭集形式的刻划：集合X为紧集当且仅当其任 一 具有有限交性质的子集族的闭包的交非空。另外它实际上运用了选择公理（的等价形式） ，这一点让人有点难受，但对于分析学来说，这个定理太重要了。不过对于可列的笛卡儿 积，情况会好一些，一个著名的例子是所谓Hilbert方体的紧性。依据Tychonoff定理，我 们可以得到许多有用的结论。一个例子就是所谓Stone-Cech紧化。空间紧化的紧化是指一 空间可以嵌入一紧空间。最简单的例子是一点紧化，也就是认为添上一个唯一的无穷远点 ，这是一种“最小的”紧化。而Stone-Cech紧化是“最大的”紧化。设X为一完全正则空 间 ，Stone-Cech紧化的想法是借助于X上的所有连续有界实函数（其每一个都为一分支函数 ） 的全体，因为每一函数均有界，因此对于每一分支函数f, f(X)的上、下确界构成一紧区 间 ，而X可以嵌入这些紧区间的笛卡儿积（紧的！）中。这种Stone-Cech紧化的好处有， I －X上的连续有界实函数可以唯一扩张到Stone-Cech紧化空间上 II －在1的意义下的紧化唯一 III －任一紧化空间都可看成Stone-Cech紧化空间的商空间 6、接下来谈论的事情或许已经非常专门，似乎不太引起大家的兴趣。这里主要谈及的就 是 拓扑空间可度量化的问题——什么样的拓扑空间是可以找到一度量，其诱导了相容的拓扑 ？前面的Urysohn度量化定理给出了一个充分条件。但拓扑学家关心充要条件。我这里只 想 将事实写下来，至于其证明，本人也没仔细看过。我不想叙述Nagata-Smirnov的条件，而 更想用另外的一个条件，因为它涉及了一个很重要的概念－仿紧性，Simrnov的度量化定 理 说：空间为可度量化的当且仅当空间是仿紧且局部可度量化（Nagata-Smirnov定理的推论 ）。这里需要提一下仿紧性，因为在分析学中我们遇到的一些问题和方法，其拓扑前提就 是空间的仿紧性——Hausdorff的，并且其任一开覆盖有局部有限的加细。这里局部有限 是 说任一点存在邻域仅与有限个该开覆盖的集合相交，加细是指一个集族，其元均可找到该 开覆盖的元，使前者为后者的子集。在很多情况下，我们运用单位分解定理，都必须用到 局部有限的事实，事实上都是用到了空间的仿紧性。所以知道这个拓扑概念，有时是很有 帮助的。我们常说的流形都是仿紧的。