问拓扑的意义？
内容比较长，有什么意见尽管提。写这一大段的目的是希望和大家一起提高对拓扑的理解，并能进一步的把那些高水平的书看下去，从而不至于把一些本来很美的概念看得没头没脑不知来龙去脉。Thank you.
要想理解拓扑这个概念，必须要对这个概念的直观意义有一定的了解，因为拓扑概念自身就是起源于它的直观意义，数学家们把它的直观意义用精确的数学语言表达出来，就形成了它的定义。
这种直观意义是什么呢？我想从一个例子来说应该更好理解一些。在一个半球面的赤道的最右面的点叫P，最左面的点叫P'。显然半球面和平面“在某种性质上是属于同一类的”（即它们同胚）。这时，如果我们在考虑建立在这种几何模型基础上的某一个问题时发现P点和P'点在另一种意义上似乎表现为一种“相邻”的性质时，好奇心就会促使我们去研究把P点和P'点连到一起的这种几何体上P点（或P'点）周围的这种连续性质。比如：函数f(x)的自变量在赤道上取值，当 x --> P 时，f(x)的值从大到小趋向于实数a；而当 x --> P' 时，f(x)的值从小到大趋向于实数a，就好像 当你站在这个半球面的赤道上从某点走向P点，到达P点时突然到达了P'点再向前走去 这个过程中函数f(x)连续。这时，有修养的数学家就会去考虑怎样用精确的数学语言描述他所遇到的这种“跨域连续”的情况：包括“跨域连续”的函数以及“跨域连通”的几何体。
实际上，这种现象在历史上从19世纪初期就有好多数学家注意到了，但由于当时集合论水平的限制，这种概念却迟至20世纪初期才得到严格的表述，表述方法就是把P点周围的点集和P'点周围的点集并起来，并将P点和P'点看作同一个点，从而形成包含P点（或P'点）的一个新的点集，这个点集就是现今拓扑学课本上所说的包含P点的一个开集。如果在所有纬线上进行上述操作，那么把半球面上所有能够体现“跨域连续”性质的点的邻域都用能用以上方法构造的一切集合（开集）来表示，这就形成了一系列这种集合，这些集合的集合就叫半球面的一个拓扑，拓扑这个概念就是为了表述直观上的“跨域连续”性质而创造的。正是由于上面构造的这个拓扑，才使拥有这个拓扑的半球面实质上就是一个球面。 而在通常意义下的半球面和平面，都是赋予了按照通常意义下的邻域构造的拓扑的一个集合，这个拓扑叫自然拓扑，它与上面构造的拓扑不一样，因此，在同一个集合上赋予不同的拓扑会导致不同的几何构形。
然后，数学家们就在集合上利用拓扑这个概念定义了直观的“跨域连续”这种思想的精确的数学概念：拓扑学课本中讨论的“连续”。
既然在同一个集合上赋予不同的拓扑会导致不同的几何构形，那么人们自然会想到对这些不同的几何构形进行分类，而分类的标准就是：它们是不是拥有相同的拓扑。把具有相同拓扑的几何构形化归同一类，并称它们同胚，同胚关系就是对应于这种分类的等价关系。由于可以证明：“两个几何体同胚的充要条件是在这两个几何体之间存在一个‘一一对应，双方连续’的映射”，因此就定义这种映射叫同胚映射，也简称同胚。
根本地说，拓扑学就是研究几何体在同胚映射下的不变性质的一个数学分支。用微分几何和范畴论的观点来说，其根本问题就是研究C^0流形上的同构，尽管我们平时见到的问题看起来不是这些。
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Post By：2004/12/30 17:31:53
